Modelos y Diseños para Mezclas

Escrito por admin | Categoría: Diseño de Experimentos, Modelo Matemático, Superficie de Respuesta | • 15 de September, 2015 •

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Los modelos para mezclas son un caso especial dentro del método de Superficie de Respuesta. La diferencia consiste en que en los modelos convencionales de Superficie de Respuesta la variable dependiente es función de factores independientes entre si, mientras que en los modelos de mezclas la respuesta es función de “q” factores componentes de la mezcla que no son independientes entre si ya que sus valores están ligados por la relación x_1 + x_2 + \cdots + x_q = 1 . Esta restricción procede de que la suma de las proporciones de cada mezcla debe ser fija. Dicha suma es, en general, del 100% o bien 1 si, como es frecuente, se expresan las proporciones en tanto por uno.

Como veremos en los puntos siguientes, la restricción arriba indicada no permite aplicar para las mezclas los modelos polinomiales habituales del método de Superficie de Respuesta y se hace precisa la utilización de unos modelos específicos denominados Modelos Polinomiales Canónicos. En general, para “q” componentes, la región experimental factible queda comprendida en los lados y el interior de una figura regular con “q” vértices en (q-1) dimensiones que denominaremos SIMPLEX. Así, para q=3 el SIMPLEX será un triángulo equilátero y dos dimensiones (q-1=2) sobre el que se situarán los puntos del diseño a los que se ajusta el modelo.

Tras una primera parte en la que se exponen los fundamentos de los modelos para mezclas y de los diseños sobre los que sustentan, el artículo desarrolla varios ejemplos de aplicación, desde un sencillo modelo lineal de primer orden hasta otros más complejos.

Las aplicaciones del diseño de mezclas son numerosas en la investigación y la industria. Entre las áreas de especial interés se encuentran: Productos Químicos y Farmacéuticos, Siderurgia y Metalurgia, Alimentación, Carburantes y Polímeros.

Finalmente, anticipamos que la próxima publicación estará dedicada al Método de Superficie de Respuesta.

(Ver PDF).

Diseño de Procesos Robustos

Escrito por admin | Categoría: Diseño de Experimentos, Superficie de Respuesta | • 11 de February, 2015 •

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Los factores de entrada o variables independientes que actúan en un proceso se clasifican en variables de control y variables de ruido. Las variables de control, tales como la temperatura de un horno o el tiempo de estancia de un material en el mismo, son siempre controlables, tanto en el proceso como a escala experimental. Las variables de ruido son aleatorias e incontrolables durante el proceso. Como ejemplo de variables de ruido, mencionamos algunas características de la materia prima utilizada en el proceso así como la humedad y temperatura ambientales. Se considera que, aunque aleatorias en el proceso, las variables de ruido pueden ser controladas por el investigador en el curso de un experimento. La variable dependiente o variable de respuesta se refiere a la característica de interés cuyo resultado se desea optimizar: Un rendimiento, una propiedad cualitativa del producto, un coste, etc. La variable de respuesta viene definida por su valor medio y por su dispersión.

Los procesos robustos se caracterizan por su aptitud para mantener el valor medio de la respuesta dentro de unos valores especificados y con una mínima dispersión con independencia de los valores aleatorios que adopten las variables de ruido. En otras palabras, los procesos robustos son poco sensibles a la influencia de las variables de ruido. Esto se consigue ajustando las variables de control en unos valores determinados. Veremos a continuación que para diseñar un proceso robusto es esencial la existencia de interacción entre las variables de control y las variables de ruido.

El Diseño de Procesos Robustos ha sido ampliamente difundido a partir de 1980 por G. Taguchi y seguidores mediante la utilización de su propia metodología. Por nuestra parte, tal como veremos en los siguientes puntos, hemos optado por un enfoque diferente al utilizar el método de Superficie de Respuesta.

Finalmente, anticipamos que la próxima publicación tratará sobre los Diseños Experimentales con Mezclas.

(Ver Anexo: PDF)

Diseños Factoriales a Dos Niveles

Escrito por admin | Categoría: Diseño de Experimentos | • 9 de October, 2013 •

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Dentro de los diseños factoriales destacan, por su importancia y posibilidades de aplicación, los diseños con dos niveles. Estos diseños se utilizan, con preferencia, en la fase inicial de la investigación como diseños de cribado. En ellos se examina un número elevado de factores a los que se considera, inicialmente, como potenciales variables de influencia sobre la variable de respuesta. En el presente artículo trataremos sobre dos tipos de diseños a dos niveles: El diseño completo y los diseños fraccionales.

En un diseño factorial completo con “k” factores a dos niveles, se obtienen {2}^{k} tratamientos diferentes como resultado de combinar los factores y sus niveles de todas las formas posibles. Tras la ejecución de los experimentos elementales y la obtención de las correspondientes observaciones en la respuesta, se pueden estimar la respuesta media y {2}^{k}-1 efectos asignables a los factores y a sus interacciones. El hecho de que la estima de cada efecto solamente precise un grado de libertad, supone una notable economía y una clara ventaja respecto de otros posibles diseños. Si el diseño completo se replica “n” veces, se obtienen un total de n \cdot {2}^{k} observaciones pudiéndose estimar, entonces, todos los efectos y, también, calcular los errores estándar de las estimas a fin de determinar cuales son los efectos estadísticamente significativos. El modelo final, en vez de contener los “k” factores iniciales, constará tan solo de los factores e interacciones con efectos significativos, quedando los otros efectos englobados en el error residual.

En general, los efectos de los factores principales tienden a ser mayores que los efectos de las interacciones de dos factores y éstos, a su vez, mayores que los de las interacciones de tres factores y así sucesivamente. En definitiva, tan solo algunos de los efectos de los factores principales y de las interacciones de orden inferior suelen resultar significativos mientras que los restantes efectos inicialmente estudiados pasan a formar parte del término de error. De aquí se desprende el fundamento de los diseños fraccionales. En ellos, ya desde el principio, tan sólo se selecciona una fracción del diseño factorial completo que consta de ½, ¼, ⅛, etc. de sus experimentos elementales. Estos diseños, con notación {2}^{k-p} y valores de p=1, 2, 3, 4 … se usan cuando “k” es elevado y permiten estimar efectos principales y las interacciones de orden inferior aunque es inevitable la aparición de un “patrón de confusión” entre los efectos cuya acción se tratará de minimizar seleccionando de forma adecuada la fracción.

En ambos tipos de diseño: Completos y fraccionales, si el número de experimentos es grande, suele hacerse difícil su ejecución en condiciones homogéneas por lo que se recurre a la formación de bloques. La utilización de bloques disminuye el error experimental y mejora la precisión en la estima de los efectos de los factores e interacciones de interés. En contrapartida, produce la aparición de “confusión” de los efectos de algunas interacciones con los de la variable bloque introducida.

Concluyendo, el artículo desarrolla en los puntos que siguen los fundamentos de los diseños a dos niveles acompañados con ejemplos de aplicación. En la próxima publicación está previsto tratar sobre otros diseños ortogonales (Plakett–Burman) y sobre los denominados diseños robustos (Ver PDF).

Análisis de la Varianza (Parte Tercera)

Escrito por admin | Categoría: Análisis de la Varianza | • 11 de March, 2013 •

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El presente artículo es continuación de las partes primera y segunda del Análisis de la Varianza publicadas en Febrero y Octubre de 2012. El Análisis de la Varianza, junto con el Análisis de Regresión (artículo de Junio 2011), son los métodos estadísticos fundamentales para el análisis de los resultados obtenidos en los Diseños Experimentales.

El artículo expone fundamentos y ejemplos de aplicación del Análisis de la Varianza a Diseños Experimentales con Factores Aleatorios así como a otros diseños de interés en la investigación como son los diseños Jerarquizados o Anidados y los diseños en Parcelas Divididas o“Split-Plot”.

En los dos artículos anteriores sobre Análisis de la Varianza, los niveles de los factores eran niveles fijos. Sin embargo, en muchas ocasiones, el investigador no está interesado, precisamente, en los niveles seleccionados sino que desea extender las conclusiones del experimento a la totalidad de niveles que puede adoptar el factor y de los que los niveles seleccionados para el experimento son una muestra aleatoria. Surgen así los modelos de Análisis de la Varianza con Factores Aleatorios y cuando coexisten factores con niveles fijos y factores con niveles aleatorios, los llamados Modelos Mixtos.

Los Diseños Jerarquizados (Anidados) presentan una diferencia notable con los Diseños Factoriales. En ellos, los niveles del factor anidado no se combinan más que con un nivel del factor en el que se anidan. Los Diseños en Parcelas Divididas o “Split Plot” son de aplicación en aquellas situaciones en que las unidades experimentales sobre las que se aplican los factores exigen ser de dimensiones diferentes para cada factor, o bien, cuando coexisten factores con niveles con facilidad para cambiar de uno a otro en cada prueba y factores en los que dicho cambio es difícil o costoso. Estas ocasiones originan la imposibilidad de aplicar diseños factoriales completamente aleatorizados al existir restricciones que impiden una completa aleatorización.

Dado que en todos estos modelos es indispensable el cálculo de las Esperanzas Medias Cuadráticas (EMC) de los diferentes efectos, se han incluido, al comienzo del artículo, las reglas oportunas para su obtención. (Ver PDF)

Las próximas publicaciones previstas versarán sobre:

  • Diseños factoriales a dos niveles. Diseños fraccionales.
  • Diseños Ortogonales. Diseños Robustos.
  • Diseños para mezclas.
  • Método de Superficie Respuesta.
  • Series de tiempo.

Análisis de la Varianza (Parte Segunda)

Escrito por admin | Categoría: Análisis de la Varianza | • 1 de October, 2012 •

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El presente artículo es continuación del publicado en Febrero 2012 sobre el modelo ANOVA Simple y el Diseño Completamente Aleatorizado con un solo factor al que está ligado.

El artículo expone, en primer lugar, los fundamentos del Diseño en Bloques Aleatorizados y su correspondiente modelo ANOVA. El desarrollo continúa con la discusión y conclusiones de un ejemplo de aplicación. Después, y con similar esquema (fundamentos y ejemplo), se centra en el Diseño Factorial. En éste, se contempla la presencia de varios factores cuyos niveles se combinan entre si de todas las formas posibles dando lugar a los distintos tratamientos. Destacamos, en el Diseño en Bloques Aleatorizados, la inclusión en el modelo de la variable bloque que tiene como objeto la reducción del error experimental y en el modelo ANOVA del Diseño Factorial la existencia de términos de interacción entre factores. Ambos diseños tienen considerable difusión e importancia en la Estadística Aplicada a la Investigación. Finaliza el artículo recogiendo las analogías y relaciones existentes entre los modelos ANOVA y los modelos de Regresión desarrollados en nuestro artículo de Junio de 2011.

La próxima publicación prevista – Análisis de la Varianza, Parte Tercera – , tratará sobre otros modelos de interés aplicados a: Diseños Jerarquizados (Anidados), Diseños en Parcelas Divididas (“Split-Plot”) y modelos mixtos en los que pueden presentarse, simultáneamente, factores fijos, aleatorios y anidados. (Ver PDF)

Análisis de la Varianza (Parte Primera)

Escrito por admin | Categoría: Análisis de la Varianza | • 6 de February, 2012 •

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Los modelos de Análisis de la Varianza (ANOVA) fueron desarrollados por R.A. Fisher como método de análisis de los resultados obtenidos en los Diseños Experimentales. En estos modelos, la variable dependiente de tipo continuo (variable de respuesta) se expresa en función de las variables independientes (factores) que son variables de tipo categórico. El método descompone la variabilidad total existente en la respuesta según las distintas fuentes de variación consideradas en el modelo: Variabilidad de cada factor, variabilidad de las interacciones entre factores y variabilidad residual originada por el conjunto de los factores que no han sido introducidos en el modelo.

Tras descomponer la variabilidad, el método determina cuales son las fuentes de variación que tienen efectos de influencia significativa en la respuesta e infiere intervalos de confianza para dichos efectos. En esta 1ª Parte, nos centraremos en el modelo ANOVA más sencillo (ANOVA Simple), que considera tan sólo un único factor como causa de variabilidad. Este factor está constituido por varios niveles fijos (tratamientos). El método compara los valores medios de los tratamientos y analiza los resultados obtenidos en un Diseño Completamente Aleatorizado al que está ligado el modelo ANOVA Simple.

En su exposición, el artículo desarrolla, en primer lugar, los fundamentos teóricos y después presenta la discusión y conclusiones de un ejemplo de aplicación. En próximos artículos se ampliará el campo de aplicación del Análisis de la Varianza al análisis de resultados obtenidos en Diseños Experimentales con mayor complejidad que el Diseño Completamente Aleatorizado con un solo factor. (Ver PDF)

La Estadística en la Investigación

Escrito por admin | Categoría: Estadística Aplicada | • 25 de August, 2011 •

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Este artículo está especialmente dirigido a aquellas personas dedicadas o en camino de dedicarse a trabajos de investigación en muy diversos campos: Ingeniería, Medicina, Economía, Sociología, etc,. En todos ellos, la realidad enseña que la necesidad de cuantificar se presenta siempre en la actividad investigadora.

Simplificando, describiremos dos situaciones básicas que, en la práctica, se combinan entre si dando lugar a situaciones intermedias según sea el grado de predominio de una u otra: La primera corresponde a los casos en que existe una base de datos previa de la que el investigador desea extraer información útil (Análisis Observacional). En la segunda, actuando sobre los factores de posible influencia sobre la variable de respuesta en que está centrada la investigación, se diseñan, planifican y ejecutan experimentos de los que el investigador obtiene unos resultados que, después, debe analizar e interpretar (Diseño y Análisis de Experimentos). En ambas situaciones, la utilización de los Métodos Estadísticos representa una valiosa ayuda.

Regresión Lineal Múltiple

Escrito por admin | Categoría: Análisis de Regresión | • 1 de June, 2011 •

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El Análisis de Regresión lineal Múltiple cuantifica la relación existente entre una variable dependiente continua con varias variables independientes mediante una ecuación de tipo lineal. El Análisis de Regresión Múltiple es la técnica básica y, también, la más conocida y utilizada del Análisis Multivariante. Por esta razón hemos considerado conveniente presentarla separada de las restantes técnicas de Análisis Multivariante que, a su vez, hemos agrupado en el volúmen titulado “Análisis Multivariante Aplicado a la Investigación”.

La Regresión Múltiple es la lógica extensión del Análisis de Regresión Simple que tan solo contempla una variable independiente y tiene su continuación con los Modelos Generales de Regresión Lineal (GLM) sobre los que trataremos en próximas publicaciones. El presente trabajo consta de un apartado que recoge los fundamentos matemáticos de la Regresión Lineal Múltiple y un ejemplo en el que se desarrollan y aplican dichos fundamentos (ver PDF).

Manual de Análisis Multivariante

Escrito por admin | Categoría: Análisis Multivariante | • 31 de January, 2011 •

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Incluímos a continuación los dos primeros  capítulos del Manual de Análisis Multivariante. (ver pdf).

Los seis capítulos del Manual están dedicados a diferentes métodos de Análisis Multivariante. Los dos primeros – Análisis de Componentes Principales y Análisis Factorial -, son métodos basados en la reducción del número de variables a fin de simplificar y mejorar la interpretación de los datos. Los tres siguientes – Análisis Discriminante, Regresión Logística y Análisis “Cluster”-. son métodos de clasificación. El 6º capítulo trata sobre el Gráfico de Control Multivariable, que es una técnica que forma parte del Control de Calidad.

El Manual está dirigido a los investigadores que, en muy diversas ramas de la Ciencia y de la Tecnología, precisan tratar un volumen elevado de datos y desean mejorar su potencial para simplificar, clasificar e interpretar la información contenida en los mismos. Aunque el enfoque del Manual es eminentemente práctico y se desarrolla mediante diez ejemplos de aplicación con datos reales, se ha querido también incluir y explicar los principales fundamentos estadísticos y matemáticos en los que se basan los distintos métodos.